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donc la fonction dérivée de $\sin x$ sera $\mathrm {A} \cos x,$ et la fonction dérivée de $\cos x$ sera $-\mathrm {A} \sin x.$

Le coefficient $\mathrm {A}$ est une constante encore inconnue, mais que nous déterminerons ci-après par la nature du cercle.

Connaissant ces premières fonctions dérivées, on pourra de la même manière trouver toutes les suivantes. Ainsi, la première dérivée de $\sin x$ étant $\mathrm {A} \cos x,$ la dérivée de celle-ci sera $-\mathrm {A} ^{2}\sin x,$ et la troisième dérivée sera $-\mathrm {A} ^{3}\cos x,$ et ainsi de suite.

Donc, en général, si $f(x)=\sin x,$ on aura

$f'(x)=\mathrm {A} \cos x,\quad f''(x)=-\mathrm {A} ^{2}\sin x,\quad f'''(x)=-\mathrm {A} ^{3}\cos x,\quad \ldots \,;$

et, faisant ces substitutions dans la série du développement de $f(x+i),$ on aura

$\sin(x+i)=\sin x+\mathrm {A} i\cos x-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots .$

On aura de même

$f(x)=\cos x,\ \ f'(x)=-\mathrm {A} \sin x,\ \ f''(x)=-\mathrm {A} ^{2}\cos x,\ \ f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}\sin x,\ \ \ldots \,;$

et ces substitutions donneront

$\cos(x+i)=\cos x-\mathrm {A} i\sin x-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots .$

Faisons pour abréger

$\mathrm {P} =\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}i^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$

$\mathrm {Q} =1-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}-{\frac {\mathrm {A} ^{6}i^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots \,;$

on aura

${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\mathrm {Q} \sin x+\mathrm {P} \cos x,\\\cos(x+i)=&\mathrm {Q} \cos x-\mathrm {P} \sin x,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par les théorèmes connus,

$\sin i=\mathrm {P} \quad {\text{et}}\quad \cos i=\mathrm {Q} .$