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Ainsi on aura, quel que soit l’angle $i,$ les séries

$\sin i=i\mathrm {A} -{\frac {i^{3}\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+{\frac {i^{5}\mathrm {A} ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$

$\cos i=1-{\frac {i^{2}\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {i^{4}\mathrm {A} ^{4}}{2.3.4}}-{\frac {i^{6}\mathrm {A} ^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots .$

Il semble qu’on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu’on a trouvées ci-dessus pour $\sin(x+i)$ et $\cos(x+i),$ en y faisant $x=0\,;$ mais nous avons voulu éviter ici, comme nous l’avons déjà fait plus haut, les difficultés qui pourraient naître de ce que le développement de $f(x+i)$ n’est généralement vrai que tant qu’on ne donne pas à $x$ des valeurs particulières.

Maintenant il est visible que ces séries sont nécessairement convergentes, en prenant l’angle $i$ tel que $\mathrm {A} i$ soit égal ou moindre que l’unité, et il est visible en même temps qu’on aura alors

$\sin i<\mathrm {A} i\quad {\text{et}}\quad >\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\,;$

car les termes ayant les signes alternatifs, et allant en diminuant, les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, etc., seront toutes négatives ; et au contraire les sommes du troisième et du quatrième, du cinquième et du sixième, etc., seront toutes positives.

D’un autre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes d’Archimède que le sinus est toujours moindre que l’arc, et que la tangente est plus grande que l’arc, du moins dans le premier quart de cercle ; ainsi on aura

$\sin i<i\quad {\text{et}}\quad {\frac {\sin i}{\cos i}}>i\,;$

mais

$\cos i={\sqrt {1-\sin ^{2}i}},$

donc

${\frac {\sin i}{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}}>i,\quad \sin ^{2}i>i^{2}\left(1-\sin ^{2}i\right),$