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En comparant ces formules aux formules générales, on aura

$\mathrm {V} ={\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}=f(x,y,y',z)\,;$

et la fonction $\operatorname {F} (x,y,y',z,z',\ldots ),$ qui, étant égalée à zéro, donne l’équation de condition, sera

$z'-2g+2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}.$

On aura donc

$\mathrm {\overset {.}{V}} ={\frac {y'{\overset {.}{y}}\,\!'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}}-{\frac {{\overset {.}{z}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2z^{\frac {3}{2}}}}.$

Et de là

$f'(y')={\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}},\quad f'(z)=-{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{2z^{\frac {3}{2}}}}.$

Ensuite on aura l’équation variée

${\overset {.}{z}}\,\!'+2z\varphi '(z){\sqrt {1+y'^{2}}}+2\varphi (z){\frac {y'{\overset {.}{y}}\,\!'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=0,$

et par conséquent

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(y')=&2\varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},\\\operatorname {F} '(z)=&2\varphi '(z){\sqrt {1+y'^{2}}},\quad \operatorname {F} '(z')=1.\end{aligned}}$

De là on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {Y} =&-\left({\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}}\right)',&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}=&{\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}},\\\mathrm {Z} =&-{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{2z^{\frac {3}{2}}}},&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}=&0,\\(\mathrm {Y} )=&-\left[2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right]',\qquad &\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=&2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},\\(\mathrm {Z} )=&2\lambda \varphi '(z){\sqrt {1+y'^{2}}}-\lambda ',&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=&\lambda .\end{alignedat}}$

D’après ces valeurs, on aura les équations générales

$\mathrm {Y+(Y)=0,\quad Z+(Z)} =0,$