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or, en prenant successivement les dérivées par rapport à $x$ et à $y,$ on trouve

${\begin{aligned}\mathrm {VV} '^{,}=&z'^{,}z''^{,}+z^{,}\,'z'^{,}\,\!'\\\mathrm {VV} '^{,}=&z'^{,}z'^{,}\,\!'+z^{,}\,\!'z'^{,}\,\!''\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en multipliant l’équation précédente par $\mathrm {V} ,$ et substituant les valeurs de $\mathrm {V^{2},VV'^{,},VV^{,}\,\!'} ,$ on aura après les réductions

$\left[1+\left(z'^{,}\right)^{2}\right]z^{,}\,\!''-2z'^{,}z^{,}\,\!'z'^{,}\,\!'+\left[1+\left(z^{,}\,\!'\right)^{2}\right]z''^{,}=0.$

Et, si l’on aime mieux employer la notation proposée à la fin de la Leçon XIX, on aura, pour l’équation de la moindre surface,

$\left[1+\left({\frac {z'}{x'}}\right)^{2}\right]\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right)-2\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right)\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)+\left[1+\left({\frac {z'}{y'}}\right)^{2}\right]\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)=0.$

Monge et Legendre ont trouvé, par des méthodes ingénieuses, l’équation primitive de cette équation du second ordre ; mais la forme sous laquelle elle se présente la rend peu susceptible d’applications utiles. (Voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1787.)

Pour donner encore un autre exemple, nous reprendrons le problème si connu de la brachistochrone, ou ligne de là plus vite descente ; mais nous la considérerons dans un milieu résistant comme une fonction quelconque de la vitesse.

Soient les abscisses $x$ dirigées verticalement de haut en bas, et par conséquent les ordonnées $y$ horizontales. Si l’on nomme $g$ la force constante de la gravité, $z$ le carré de la vitesse et $\varphi (z)$ la fonction de la vitesse qui est proportionnelle à la résistance, les principes de la Mécanique donnent l’équation

$z'-2g+2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}=0$

pour la détermination de $z\,;$ et le temps, qui-doit être un maximum ou un minimum, est exprimé par la fonction primitive de l’expression ${\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}.$