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Le cas du vide n’a aucune difficulté ; car, en faisant $\varphi (z)=0,$ on aura l’équation

${\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}}=\mathrm {const} .={\frac {1}{\sqrt {a}}},$

où $\lambda$ n’entre pas.

Ensuite on a

$z'-2g=0,\quad {\text{d’où l’on tire}}\quad z=2gx+b.$

En rapportant cette équation à la première limite, on a

$z_{0}=2gx_{0}+b,\quad {\text{d’où}}\quad b=z_{0}-2gx_{0}.$

Ainsi la valeur complète de $z$ sera

$z=2g(x-x_{0})+z_{0}.$

Or l’équation en $y'$ donne

$y'={\sqrt {\frac {z}{a-z}}},$

équation qui, par la substitution de la valeur de $z,$ devient celle de la cycloïde ordinaire.

Soit, pour abréger,

$t={\frac {1}{\sqrt {z}}}+2\lambda \varphi (z)\,;$

le problème général dépendra de ces trois équations du premier ordre,

${\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},$

$\lambda '-\left[2\lambda \varphi '(z)-{\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}\right]{\sqrt {1+y'^{2}}}=0,$

$z'-2g+2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}=0.$

Si l’on prend la dérivée de $t,$ on a

$t'=-z'\left[{\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}-2\lambda \varphi '(z)\right]+2\lambda '\varphi (z),$