Le cas du vide n’a aucune difficulté ; car, en faisant
on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}}=\mathrm {const} .={\frac {1}{\sqrt {a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713be06975c2024a8697b77db9c200c544274898)
où
n’entre pas.
Ensuite on a
![{\displaystyle z'-2g=0,\quad {\text{d’où l’on tire}}\quad z=2gx+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809815e35fa1c0bbcb9176daa966f631658453c0)
En rapportant cette équation à la première limite, on a
![{\displaystyle z_{0}=2gx_{0}+b,\quad {\text{d’où}}\quad b=z_{0}-2gx_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ded838ee3b024c89fac9585694b0b3ea7325a6)
Ainsi la valeur complète de
sera
![{\displaystyle z=2g(x-x_{0})+z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe978d4a18a9e458caa3814bceb00863ae783d9)
Or l’équation en
donne
![{\displaystyle y'={\sqrt {\frac {z}{a-z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedb3527bf7d077182b9ea2ba64e1c5a22cc3deb)
équation qui, par la substitution de la valeur de
devient celle de la cycloïde ordinaire.
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle t={\frac {1}{\sqrt {z}}}+2\lambda \varphi (z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fc77f9ce7cb430957ad9b5d2b4bb82e2d0d61c)
le problème général dépendra de ces trois équations du premier ordre,
![{\displaystyle {\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93450b51663e45606fcb358d65ca7f3c6327f78b)
![{\displaystyle \lambda '-\left[2\lambda \varphi '(z)-{\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}\right]{\sqrt {1+y'^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699a5d2e8d789406cb0e8efc38efc59a9a8be8ec)
![{\displaystyle z'-2g+2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c68397d96d01afe52930677a2f730ab35113b23)
Si l’on prend la dérivée de
on a
![{\displaystyle t'=-z'\left[{\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}-2\lambda \varphi '(z)\right]+2\lambda '\varphi (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099471e98b6301fa85a9d0ea5514c5932fad9cb)