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d’où l’on tire

${\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}-2\lambda \varphi '(z)={\frac {2\lambda '\varphi (z)-t'}{z'}}\,;$

cette valeur étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, on aura

$\lambda '+{\frac {2\lambda '\varphi (z)-t'}{z'}}{\sqrt {1+y'^{2}}}=0\,;$

mais la troisième donne

$z'=2g-2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}\,;$

substituant cette valeur dans la dernière équation après l’avoir multipliée par $z',$ elle se réduira à

$2g\lambda '-t'{\sqrt {1+y'^{2}}}=0.$

Or on a

$t'{\sqrt {1+y'^{2}}}=\left(t{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)'-{\frac {ty'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$

et la première équation donne

${\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,;$

donc l’équation qu’on vient de trouver deviendra

$2g\lambda '-\left(t{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)'+{\frac {y''}{\sqrt {a}}}=0,$

dont la primitive est

$2g\lambda -t{\sqrt {1+y'^{2}}}+{\frac {y'}{\sqrt {a}}}=b\,;$

et, si l’on substitue encore ici pour $t$ sa valeur ${\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{y'{\sqrt {a}}}}$ tirée de la première équation, on aura

$2g\lambda ={\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}+b.$

Ainsi l’on a la valeur de $\lambda$ qu’on substituera dans l’expression de $t$ de la première équation ; et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec la troisième pour en éliminer $z.$