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dans l’équation précédente, au lieu de ${\overset {.}{y}}_{0},$ sa valeur $(y'_{0}){\overset {.}{x}}_{0},$ la variation ${\overset {.}{x}}_{0}$ demeurera arbitraire, et il faudra vérifier l’équation en égalant à zéro le coefficient de ${\overset {.}{x}}_{0},$ ce qui donnera

${\frac {1}{y_{1}'}}+{\frac {\Delta '(x_{0})}{2g}}\left({\frac {1}{y_{0}'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right)+\left[1+{\frac {\Delta '(y_{0})}{2g}}\left({\frac {1}{y_{0}'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right)\right](y_{0}')=0,$

équation à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires.

Supposons, ce qui est le cas le plus simple, que la vitesse initiale ${\sqrt {z_{0}}}$ soit donnée indépendamment du lieu de départ ; on aura alors $z_{0}=$ à une constante ; donc

$\Delta (x_{0},y_{0})=$ const.,

et par conséquent

$\Delta '(x_{0})=0,\quad \Delta '(y'_{0})=0,$

et l’équation précédente deviendra

${\frac {1}{y'_{1}}}+(y'_{0})=0,\quad {\text{savoir}}\quad 1+y_{1}'(y_{0}')=0.$

Dans cette équation, $(y'_{0})$ exprime la tangente de l’angle que fait avec l’axe des $x$ la tangente à la courbe de la première limite, dans le point où elle est rencontrée par la ligne de la plus vite descente, et $y'_{1},$ exprime la tangente de l’angle que fait avec le même axe la tangente à cette même ligne au point de la seconde limite ; et il suit de cette équation, comme nous l’avons vu dans le premier exemple, que la différence de ces deux angles doit être égale à un angle droit. Donc il faudra que la tangente à la courbe de la première limite soit perpendiculaire à la tangente à la ligne de la plus vite descente au point de la seconde limite ; et, comme nous avons déjà vu que cette tangente doit être perpendiculaire à celle de la courbe de la seconde limite, on en conclura que, dans le cas dont il s’agit, la courbe de la plus vite descente devra rencontrer les deux courbes des limites dans des points où les tangentes soient parallèles entre elles.