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égalant à zéro son coefficient $\lambda _{1}.$ Ainsi l’on aura la condition $\lambda _{1}=0,$ qui servira à déterminer la constante arbitraire $b$ de la valeur de $\lambda$ trouvée plus haut. Cette condition donne

${\frac {1}{y'_{1}{\sqrt {a}}}}+b=0,$

d’où l’on tire

$b=-{\frac {1}{y'_{1}{\sqrt {a}}}}\,;$

de sorte que l’expression complète de $\lambda$ sera

$2g\lambda ={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left({\frac {1}{y'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right),$

d’où l’on aura

$2g\lambda _{0}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left({\frac {1}{y_{0}'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right),$

valeur qu’il faudra substituer dans l’équation à la première limite.

À l’égard de l’équation de la seconde limite, elle sera simplement, à cause de $\lambda _{1}=0,$

${\frac {{\overset {.}{x}}_{1}}{y'_{1}}}+{\overset {.}{y}}_{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\overset {.}{x}}_{1}+y_{1}'{\overset {.}{y}}_{1}=0.$

Cette équation est tout à fait semblable à celle que nous avons trouvée dans le premier exemple, et d’où nous avons conclu que la ligne la plus courte devait couper à angles droits la ligne qui forme la seconde, limite. Ainsi la même conclusion doit avoir lieu pour la ligne de la plus vite descente, quelle que soit la loi de la résistance du milieu.

Revenons à la première limite. En substituant dans l’équation de cette limite pour $\lambda _{0}$ sa valeur, elle devient

$\left[{\frac {1}{y_{1}'}}+{\frac {\Delta '(x_{0})}{2g}}\left({\frac {1}{y_{0}'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right)\right]{\overset {.}{x}}_{0}+\left[1+{\frac {\Delta '(y_{0})}{2g}}\left({\frac {1}{y_{0}'}}-{\frac {1}{y'_{1}}}\right)\right]{\overset {.}{y}}_{0}=0.$

Maintenant, si l’on désigne par $(y'_{0})$ la dérivée de l’ordonnée $y$ de la courbe qui forme la première limite, on aura, comme on l’a vu dans le premier-exemple, l’équation ${\overset {.}{y}}_{0}-(y'_{0}){\overset {.}{x}}_{0}=0.$ Donc, si l’on substitue