équations qu’il faut combiner avec l’équation en
![{\displaystyle z'-2g-2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56180d91569d89186e111d5c8b87657b4af7d2bb)
La première a pour primitive
![{\displaystyle 2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68bbc68cdc20ba90d1d5ef41c84135c3e5d7780)
et, si l’on opère sur ces trois équations comme on l’a fait dans le cas précédent, on parviendra de la même manière à l’équation
![{\displaystyle 2g\lambda ={\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78eeca0031b6cd32bb79aace440369463f90e8ae)
qui donne la valeur de
ensuite les deux dernières équations ci-dessus donneront la vitesse
et la fonction
en
d’où dépend la fonction cherchée.
À l’égard des limites, on aura dans le cas dont il s’agit, en faisant varier à la fois
![{\displaystyle \mathrm {U} =\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)+z'{\overset {.}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4899e0c6f0a4f7f4f98ab35baebc872113fd1e)
formule qui, en substituant les valeurs de
et de
et réduisant, devient
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\frac {2\lambda \varphi (z)}{\sqrt {1+y'^{2}}}}-2g\lambda \right]{\overset {.}{x}}+2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\overset {.}{y}}+(\lambda +1){\overset {.}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ade7da1404f6a09847bfd9a29ad27b0bf235a89)
Et, si l’on substitue encore dans celle-ci les valeurs de
et de
tirées des deux dernières équations primitives, on aura enfin
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=-b{\overset {.}{x}}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}+(\lambda +1){\overset {.}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5fd947f0dbdf6f5518d9c4648166e2af824dc1)
de sorte que les deux équations aux limites
et
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-b{\overset {.}{x}}_{0}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{0}+(\lambda _{0}+1){\overset {.}{z}}_{0}=0,\\&-b{\overset {.}{x}}_{1}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{1}+(\lambda _{1}+1){\overset {.}{z}}_{1}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611850f61dfd303ce8e4cabb8d2c60976b9ebd44)