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équations qu’il faut combiner avec l’équation en $z$

$z'-2g-2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}=0.$

La première a pour primitive

$2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,;$

et, si l’on opère sur ces trois équations comme on l’a fait dans le cas précédent, on parviendra de la même manière à l’équation

$2g\lambda ={\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}+b,$

qui donne la valeur de $\lambda \,;$ ensuite les deux dernières équations ci-dessus donneront la vitesse ${\sqrt {z}},$ et la fonction $y$ en $x,$ d’où dépend la fonction cherchée.

À l’égard des limites, on aura dans le cas dont il s’agit, en faisant varier à la fois $x,y,z,$

$\mathrm {U} =\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)+z'{\overset {.}{x}},$

formule qui, en substituant les valeurs de $\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right),\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)$ et de $z',$ et réduisant, devient

${\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\frac {2\lambda \varphi (z)}{\sqrt {1+y'^{2}}}}-2g\lambda \right]{\overset {.}{x}}+2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\overset {.}{y}}+(\lambda +1){\overset {.}{z}}.$

Et, si l’on substitue encore dans celle-ci les valeurs de $2g\lambda$ et de $2\lambda \varphi (z)$ tirées des deux dernières équations primitives, on aura enfin

${\overset {.}{\mathrm {U} }}=-b{\overset {.}{x}}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}+(\lambda +1){\overset {.}{z}}\,;$

de sorte que les deux équations aux limites ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0$ et ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}=0$ deviendront

${\begin{aligned}&-b{\overset {.}{x}}_{0}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{0}+(\lambda _{0}+1){\overset {.}{z}}_{0}=0,\\&-b{\overset {.}{x}}_{1}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{1}+(\lambda _{1}+1){\overset {.}{z}}_{1}=0.\end{aligned}}$