Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/452

La vitesse initiale, dont $z_{0}$ est le carré, doit être donnée ; si on la suppose indépendante du lieu du départ, $z_{0}$ sera une quantité constante dont la variation sera par conséquent nulle ; donc ${\overset {.}{z}}_{0}=0.$ Alors la première équation se réduira à

$-b{\overset {.}{x}}_{0}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{0}=0.$

Pour la seconde, comme rien ne détermine la valeur de $z_{1},$ il faudra queson coefficient soit nul, et qu’il donne $\lambda _{1}+1=0$ et $\lambda _{1}=-1,$ condition par laquelle on déterminera, la valeur de la constante arbitraire $b.$

Cette équation deviendra ainsi

$-b{\overset {.}{x}}_{1}+{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\overset {.}{y}}_{1}=0$

Si les deux points extrêmes de la courbe étaient donnés, les variations de $x_{0},y_{0},x_{1},y_{1}$ seraient nulles, et les deux équations seraient satisfaites d’elles-mêmes.

Mais, si la question est de trouver la ligne par laquelle le corps partant d’une courbe donnée, et arrivant à une autre courbe donnée, acquiet la plus grande vitesse, nommant, comme plus haut, $(y'_{0})$ et $(y'_{1})$ les tangentes des angles que les tangentes à ces courbes font avec l’axe aux deux extrémités de la ligne cherchée, on aura, ainsi qu’on l’a vu dans le premier exemple,

${\overset {.}{y}}_{0}-(y_{0}'){\overset {.}{x}}_{0}=0\quad {\text{et}}\quad {\overset {.}{y}}_{1}-(y_{1}'){\overset {.}{x}}_{1}=0\,;$

et ces équations, étant combinées avec les deux précédentes, donneront

$(y'_{0})=b{\sqrt {a}}\quad {\text{et}}\quad (y'_{1})=b{\sqrt {a}}\,;$

d’où l’on peut conclure que les tangentes aux deux courbes des limites doivent être parallèles entre elles, comme dans la courbe de la plus vite descente.