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de plus

$\sin \omega =\omega -{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\quad {\text{et}}\quad \cos \omega =1-{\frac {\omega ^{2}}{2}}+\ldots ,$

par les formules trouvées plus haut ; donc, faisant ces substitutions et restituant la valeur de $\omega ,$ on aura, en ordonnant les termes par rapport à $i,$ l’équation identique

$x+i=x+i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots ,$

laquelle donne, par la comparaison des premiers termes affectés de $i,$

$1={\sqrt {1-x^{2}}}f'(x),\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}\ r{\acute {e}}sulte} \quad f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de $f''(x),$ $f'''(x),\ldots \,;$ mais il est plus simple de les déduire immédiatement de celle de $f'(x).$

Soit maintenant

$f(x)=\operatorname {angle\,cos} x,\quad {\text{on aura}}\quad x=\cos f(x)\,;$

mettant $x+i$ pour $x,$ et $f(x)+\omega$ pour $f(x),$ on aura

$x+i=\cos \left[f(x)+\omega \right]=\cos f(x)\cos \omega -\sin f(x)\sin \omega \,;$

or

$\cos f(x)=x,\quad {\text{et}}\quad \sin f(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}f(x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\,;$

faisant ces substitutions, et mettant pour $\sin \omega$ et $\cos \omega$ leurs valeurs en séries, $\omega -{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots$ et $1-{\frac {\omega ^{2}}{2}}+\ldots ,$ on aura, après avoir restitué la valeur de $\omega$ et ordonné les termes suivant les puissances de $i,$ cette équation identique

$x+i=x-i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)-{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots \,;$

et la comparaison des deux premiers termes affectés de $i$ donnera

$1=-{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x),$