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plus grand que l’unité ; car, quelque peu que $\mathrm {A}$ surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre $i$ assez petit pour que l’on eût

$1+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}<\mathrm {A} ,$

tandis qu’on doit avoir toujours

$1+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}>\mathrm {A} .$

Donc, puisque la valeur de $\mathrm {A}$ ne peut être ni moindre ni plus grande que l’unité, il s’ensuit qu’on aura nécessairement $\mathrm {A} =1.$

Donc la fonction dérivée de $\sin x$ est simplement $\cos x,$ et la fonction dérivée de $\cos x$ est $-\sin x,$ $x$ désignant un angle quelconque, c’est-à-dire un arc dans le cercle dont le rayon est l’unité.

Ainsi l’on aura en général, pour un angle quelconque $i,$

$\sin i=i-{\frac {i^{3}}{2.3}}-{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$

$\cos i=1-{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}-{\frac {i^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots ,$

formules connues, et dont la découverte est due à Newton.

Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en cherchant les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots $\operatorname {angle\,sin}$ ou $\operatorname {angle\,cos} ,$ placés avant le sinus ou le cosinus, comme caractéristiques.

Soit

$f(x)=\operatorname {angle\,sin} x,\quad {\text{on aura}}\quad \sin f(x)=x\,;$

mettant $x+i$ pour $x,$ et supposant

$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots =\omega ,$

on aura

$\sin \left[f(x)+\omega \right]=x+i=\sin f(x)\cos \omega +\cos f(x)\sin \omega \,;$

or

$\sin f(x)=x,\quad \cos f(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}f(x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\,;$