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LEÇON SIXIÈME.

Fonctions dérivées des quantités de différentes fonctions d’une même variable, ou dépendantes de ces fonctions par des équations données.

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Les fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières Leçons sont comme les éléments dont se composent toutes les fonctions qu’on peut former par des opérations algébriques ; c’est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples ; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d’une manière quelconque.

Nous supposerons en général que $p,q,r,\ldots$ soient des fonctions quelconques d’une même variable, dont les fonctions dérivées $p',q',r',\ldots$ soient connues, et que $y$ soit une fonction composée de $p,q,r,\ldots ,$ dont on demande la fonction dérivée $y'.$

On considérera que, $x$ devenant $x+i,$ $y$ deviendra en général

$y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots \,;$

or $p,q,r,\ldots$ deviennent en même temps

$p+ip'+\ldots ,\quad q+iq'+\ldots ,\quad r+ir'+\ldots \,;$

il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de $y,$ développer les termes suivant les puissances de $i,$ et le coefficient de $i$ sera la valeur cherchée de $y'.$

Ainsi, si

$y=\mathrm {A} p+\mathrm {B} q+\mathrm {C} r+\ldots ,$