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$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients quelconques, on aura sur-le-champ

$y'=\mathrm {A} p'+\mathrm {B} q'+\mathrm {C} r'+\ldots .$

Si $y=\mathrm {A} pq,$ la quantité $pq$ deviendra

$(p+ip'+\ldots )(q+iq'+\ldots )=pq+i(qp'+pq')+\ldots \,;$

donc

$y'=\mathrm {A} (qp'+pq').$

Si $y=\mathrm {A} pqr,$ on trouvera de la même manière

$y'=\mathrm {A} (qrp'+prq'+pqr').$

Si $y=\mathrm {A} {\frac {p}{q}},$ la quantité ${\frac {p}{q}}$ deviendra

${\frac {p+ip'+\ldots }{q+iq'+\ldots }}.$

Développant le dénominateur en série, suivant les règles connues, on aura

$(p+ip'+\ldots )\left({\frac {1}{q}}-{\frac {iq'}{q^{2}}}+\ldots \right)={\frac {p}{q}}+i\left({\frac {p'}{q}}-{\frac {pq'}{q^{2}}}\right)+\ldots \,;$

donc

$y'=\mathrm {A} \left({\frac {p'}{q}}-{\frac {pq'}{q^{2}}}\right)=\mathrm {A} \left({\frac {p'q-pq'}{q^{2}}}\right).$

Soit $y=\mathrm {A} p^{m}q^{n},$ la quantité $p^{m}q^{n}$ deviendra

${\begin{aligned}(p+ip'+\ldots )^{m}\left(q+iq'+\ldots \right)^{n}=&\left(p^{m}+mip^{m-1}p'+\ldots \right)\left(q^{n}+niq^{n-1}q'+\ldots \right)\\=&p^{m}q^{n}+i(mp^{m-1}q^{n}p'+nq^{n-1}p^{m}q'+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc

$y'=\mathrm {A} \left(mq^{n}p^{m-1}p'+np^{m}q^{n-1}q'\right).$

On trouvera de la même manière que, si $y=\mathrm {A} p^{m}q^{n}r^{l},$ on aura

$y'=\mathrm {A} \left(mq^{n}r^{l}p^{m-1}p'+np^{m}r^{l}q^{n-1}q'+lp^{m}q^{n}r^{l-1}r'\right),$

et ainsi de suite.

Soit en général $y=f(p)\,;$ en regardant $f(p)$ comme une fonction