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En général, si l’on fait $y=pqr,\ldots ,$ on trouvera de la même manière que la valeur de ${\frac {y^{(m)}}{1.2.3\ldots m}}$ sera composée d’autant de termes de la forme

${\frac {p^{(\lambda )}q^{(\mu )}r^{(\nu )}\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }}$

qu’on pourra donner de valeurs différentes aux nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ de manière que l’on ait

$\lambda +\mu +\nu +\ldots =m.$

Supposons

$p=e^{ax},\quad q=e^{bx},\quad r=e^{cx},\quad \ldots ,$

la quantité $e$ étant toujours telle que $le=1\,;$ on aura

$y=e^{(a+b+c+\ldots )x},$

et la fonction dérivée de l’ordre $m$ sera

$y^{(m)}=(a+b+c+\ldots )^{m}y\,;$

on aura de même

$p^{(\lambda )}=a^{\lambda }p,\quad q^{(\mu )}=b^{\mu }q,\quad r^{(\nu )}=c^{\nu }r,\quad \ldots .$

Donc, puisque $y=pqr,\ldots ,$ il s’ensuit que la quantité

${\frac {(a+b+c+\ldots )^{m}}{1.2.3\ldots m}}$

pourra se développer en autant de termes de la forme

${\frac {a^{\lambda }b^{\mu }c^{\nu }\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }}$

qu’il y aura de manières différentes de satisfaire à l’équation

$\lambda +\mu +\nu +\ldots =m,$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé d’une autre manière à la fin de la Leçon IV.

Faisons maintenant

$p=x^{a},\quad q=x^{b},\quad r=x^{c},\quad \ldots .$