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En effet, si l’on a en général

$y=f(p,q,\ldots ),$

$p,q,\ldots$ étant des fonctions de $x,$ et qu’on substitue $x+i$ à la place de $x,$ cette équation deviendra

$y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots =f\left(p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,\ q+iq'+{\frac {i^{2}}{2}}q''+\ldots \right).$

Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée $i\,;$ de sorte que, si l’on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

$f(p,q,\ldots )+i\mathrm {P} +i^{2}\mathrm {Q} +i^{3}\mathrm {R} +\ldots ,$

on aura sur-le-champ

$y'=\mathrm {P} ,\quad {\frac {y''}{2}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {y'''}{2.3}}=\mathrm {R} ,\quad \ldots .$

Soit, par exemple, $y=pq\,;$ on aura à réduire en série l’expression

$\left(p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots \right)\left(q+iq'+{\frac {i^{2}}{2}}q''+\ldots \right),$

et il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}y'=&pq'+p'q,\\{\frac {y''}{2}}=&{\frac {pq''}{2}}+p'q'+{\frac {p''q}{2}},\\{\frac {y'''}{2.3}}=&{\frac {pq'''}{2.3}}+{\frac {p'q''}{2}}+{\frac {p''q'}{2}}+{\frac {p'''q}{2.3}},\end{aligned}}$

et, en général,

${\frac {y^{(m)}}{2.3\ldots m}}={\frac {pq^{(m)}}{2.3\ldots m}}+{\frac {p'q^{(m-1)}}{2.3\ldots (m-1)}}+{\frac {p''q^{(m-2)}}{2.2.3\ldots (m-2)}}$

$+{\frac {p'''q^{(m-3)}}{2.3.2.3\ldots (m-3)}}+\ldots \,;$

l’exposant placé entre deux parenthèses désignant l’ordre de la fonction dérivée ; de sorte qu’en multipliant par $2.3\ldots m,$ on aura la formule générale

$y^{(m)}=pq^{(m)}+mp'q^{(m-1)}+{\frac {m(m-1)}{2}}p''q^{(m-2)}+\ldots$