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en ses différents termes, on aura tout de suite le développement du produit continuel

$\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1),$

où

$\mathrm {A} =a+b+c+\ldots ,$

en substituant dans chaque terme, à la place des puissances $a^{\lambda },b^{\mu },c^{\nu },\ldots ,$ les produits continuels

${\begin{aligned}&a(a-1)(a-2)\ldots (a-\lambda +1),\\&b\,(b\,-1)(b-2)\ldots (b\,-\mu +1),\\&c\,(c\,-1)(c-2)\ldots (c\,-\nu +1),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On trouve une démonstration directe de ce théorème, pour le binôme, dans l’ouvrage de Kramp, qui vient de paraître sous le titre d’Analyse des Réfractions.

Nous terminerons cette Leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées.

Il est facile de se convaincre, par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive, que ces fonctions sont absolument déterminées, de sorte qu’une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi et uniques pour chaque ordre.

Il n’en est pas de même des fonctions primitives à l’égard de leurs dérivées ; car, puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle, il s’ensuit que, si une fonction donnée est primitive à l’égard d’une autre fonction donnée, elle le sera encore, étant augmentée ou diminuée d’une constante quelconque. Ainsi une fonction donnée peut avoir une infinité de fonctions primitives à raison de la constante qu’on y peut ajouter. Mais il ne s’ensuit pas que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible ne puissent différer que par une constante c’est ce que nous allons démontrer.

Soit une fonction donnée $f(x),$ dont $\operatorname {F} (x)$ et $\varphi (x)$ soient également fonctions primitives ; on aura donc, par l’hypothèse,

$\operatorname {F} '(x)=f(x),\quad {\text{et}}\quad \varphi '(x)=f(x)\,;$