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donc, prenant les fonctions dérivées successives, on aura aussi

${\begin{array}{lll}\operatorname {F} ''(x)=f'(x),&\operatorname {F} '''(x)=f''(x),&\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

et de même

${\begin{array}{lll}\varphi ''(x)=f'(x),&\varphi '''(x)=f''(x),&\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

Considérons maintenant les fonctions

$\operatorname {F} (x+i)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x+i)\,;$

on a, par le développement,

$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+\ldots \,;$

donc, substituant les valeurs de $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} ''(x),\ldots ,$ on aura

$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+if(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f'(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f''(x)+\ldots ,$

et de même

$\varphi (x+i)=\varphi (x)+if(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f'(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f''(x)+\ldots ,$

donc, retranchant l’une de l’autre ces deux équations, on aura

$\operatorname {F} (x+i)-\varphi (x+i)=\operatorname {F} (x)-\varphi (x).$

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient $x$ et $i,$ et que le premier membre est une fonction de $x+i,$ et le second une pareille fonction de $x,$ il est visible que cette fonction ne peut être qu’une constante indépendante de $x$ et $i.$ On aura donc nécessairement

$\operatorname {F} (x)-\varphi (x)=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante, et par conséquent

$\operatorname {F} (x)=\varphi (x)+K\,;$

d’où l’on-voit que, si $\varphi (x)$ est une fonction primitive de $f(x),$ toute