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LEÇON SEPTIÈME.

Sur la manière de rapporter les fonctions dérivées à différentes variables.

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Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.

Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.

En regardant $y$ comme une simple fonction de $x,$ on sait que $y$ devient $y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots ,$ $x$ devenant $x+i.$ Si l’on suppose que $x$ soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque $t,$ et qu’on veuille regarder y comme fonction de $t,$ alors $t$ devenant $t+i,$ ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de $x$ et de $t$), $t$ devenant $t+o,$ $y$ deviendra aussi de la forme

$y+oy'+{\frac {o^{2}}{2}}y''+\ldots .$

Mais pour distinguer les fonctions dérivées $y',y'',\ldots ,$ qui dans la première formule se rapportent à $x,$ celles de la seconde, qui se rapportent à $t,$ nous désignerons pour un moment les premières par $(y'),$