de manière que,
devenant
deviendra
![{\displaystyle y+i(y')+{\frac {i^{2}}{2}}(y'')+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4a352a3a4d625963d7062fca2ae48f2fab7ebd)
Or
étant regardé comme fonction de
lorsque
devient
devient
![{\displaystyle x+ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284521c99d5ce8c7c92e02c3bc6c65640eea40ac)
donc, si dans la formule précédente l’on met à la place de
l’accroiscroissement de
qui est
on aura également ce que
devient lorsque
devient
Ainsi on aura l’équation identique
![{\displaystyle y+\left(ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \right)(y')+{\frac {1}{2}}\left(ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \right)^{2}(y'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58f6cb76e9ca38539d3ee10a3414ae387890758)
![{\displaystyle =y+oy'+{\frac {o^{2}}{1.2}}y''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c636c8fda8a5db29a43cbb9249e804093ff44e66)
d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de ![{\displaystyle o,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638ac95505c946e6c87999d72124af7c67869fc5)
![{\displaystyle x'(y')=y',\quad x''(y')+x'^{2}(y'')=y'',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e11be0fa6c15220818f3884c2004263c4c99167)
La première équation donne
![{\displaystyle (y')={\frac {y'}{x'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2a55056411d2cf476620c170d9914ffbd001e1)
la seconde donnera
![{\displaystyle (y'')={\frac {y''-x''(y')}{x'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86523e1eb93cb232df41060a4abd5d542265d761)
et, substituant la valeur précédente de
l’on aura
![{\displaystyle (y'')={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {x''y'}{x'^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50149e7cecd18f4b0c6a1e1de52ba582dc3be95d)
La troisième équation donnerait la valeur de
et ainsi de suite.
Mais j’observe que l’on peut déduire immédiatement la valeur de
de celle de
et successivement celle de
de celle de
par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.
En effet, puisque
fonction dérivée de
par rapport à
est égale à
c’est-à-dire à la fonction dérivée de
par rapport à
divisée par