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en substituant la valeur précédente de $x'.$ Prenantde nouveau les fonctions dérivées, on aura

${\begin{aligned}x'''=&-2x'\left(\cos 2x\cos ^{2}x-\sin 2x\sin x\cos x\right)\\=&-2x'\cos 3x\cos x\\=&-2\cos 3x\cos ^{3}x,\end{aligned}}$

et, continuant de la même manière, on aura

${\begin{aligned}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&2.3x'\left(\sin 3x\cos ^{3}x+\cos 3x\sin x\cos ^{2}x\right)\\=&2.3x'\sin 4x\cos ^{2}x\\=&2.3\sin 4x\cos ^{4}x,\\\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&2.3.4x'\left(\cos 4x\cos ^{4}x-\sin 4x\sin x\cos ^{3}x\right)\\=&2.3.4x'\cos 5x\cos ^{3}x\\=&2.3.4\cos 5x\cos ^{5}x\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de $x$ relativement à $y,$ c’est-à-dire, en supposant $x=f(y),$ si on les substitue dans la formule

$x+ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x''+\ldots ,$

on aura la valeur de $x$ répondant à $y+i.$

Ainsi l’on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera $\operatorname {tang} (x+i),$ exprimée par la série

$x+i\cos ^{2}x-{\frac {i^{2}\cos ^{2}x}{2}}\sin 2x-{\frac {i^{3}\cos ^{3}x}{3}}\cos 3x-{\frac {i^{4}\cos ^{4}x}{4}}\sin 4x$

$+{\frac {i^{5}\cos ^{5}x}{5}}\cos 5x-\ldots ,$

formule remarquable par sa simplicité et sa généralité.

Si l’on fait $x=0,$ on trouvera

$\operatorname {arc\,tang} i=i-{\frac {i^{3}}{3}}+{\frac {i^{5}}{5}}-\ldots .$

formule connue et due à Leibnitz ; mais il n’est permis de faire $x=0$ qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série.