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le sinus $y,$ il n’y aura qu’à substituer ${\frac {1}{x'}}$ à la place de $y',$ ce qui donnera

$x'={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.$

Si l’on fait

$y=\cos x,$

on a

$y'=-\sin x\,;$

donc, on obtiendra de la même manière

$x'=-{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.$

Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.

Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que

$y=\operatorname {tang} x\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$

si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ

$x'=\cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tang} ^{2}x}}={\frac {1}{1+y^{2}}}.$

En général, puisque

$y=\operatorname {tang} p\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {p'}{\cos ^{2}p}},$

on aura réciproquement

$p'=y'\cos ^{2}p,$

$p$ étant une fonction quelconque de $x.$

Si maintenant on veut regarder $p$ comme fonction de $y$ et rapporter la fonction dérivée $p'$ à la variable $y,$ on fera $y'=1,$ et l’on aura

$p'=\cos ^{2}p={\frac {1}{1+y^{2}}},$

comme ci-dessus.

La formule $x'=\cos ^{2}x$ est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de $x$ des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord

$x''=-2x'\sin x\cos x=-x'\sin 2x=-\sin 2x\cos ^{2}x,$