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Soit donc $a$ une racine de l’équation ${\frac {1}{f(x)}}=0,$ de manière que l’on ait

${\frac {1}{f(x)}}={\frac {(x-a)^{m}}{\operatorname {F} (x)}},$

$\operatorname {F} (x)$ étant une fonction de $x$ qui ne devienne ni nulle ni infinie, lorsque $x=a,$ et $m$ étant un nombre positif quelconque.

En mettant $x+i$ à la place de $x,$ et faisant $x=a,$ on aura

$f(x+i)={\frac {\operatorname {F} (a+i)}{i^{m}}},$

où l’on voit que la série du développement de $f(x+i)$ aura dans ce cas des termes de la forme ${\frac {1}{i^{m}}},{\frac {1}{i^{m-1}}},\ldots .$

Considérons maintenant les cas où ce développement pourrait contenir des puissances positives, mais fractionnaires de $i.$ La démonstration, que nous avons donnée pour prouver l’absence de ces sortes de termes, est fondée sur ce que ces termes augmenteraient le nombre des radicaux dans le développement de $f(x+i),$ tandis qu’il est évident que cette fonction ne peut contenir que les mêmes radicaux que la fonction $f(x),$ tant que $x$ est supposé une quantité quelconque indéterminée. Mais cette démonstration cesse d’avoir lieu lorsqu’on donne à $x$ une valeur déterminée telle qu’elle fasse disparaître un radical dans $f(x),$ car alors ce radical pourra être remplacé par un radical de $i$ dans le développement de $f(x+i).$ En effet, supposons que la fonction $f(x)$ contienne un radical qui s’évanouisse lorsque $x=a,$ tel que $(x-a)^{\frac {m}{n}},$ $m$ et $n$ étant des nombres entiers ; la fonction $f(x+i)$ contiendra le radical correspondant $(x-a+i)^{\frac {m}{n}},$ lequel, en faisant $x=a,$ devient $i^{\frac {m}{n}}\,;$ de sorte que le développement de cette fonction suivant les puissances de $i$ pourra contenir le radical $i^{\frac {m}{n}}$ et toutes ses puissances entières et positives.

Cette conclusion n’aurait pas lieu si la valeur particulière de $x$ n’anéantissait pas le radical, mais le faisait seulement disparaître en