Donc, faisant on en conclura que les fonctions lorsque contiendront respectivement les termes
Si est un nombre quelconque négatif, il est clair que ces termes seront infinis.
Si est un nombre positif non entier, soit le nombre entier immédiatement plus grand que m, il est visible que le terme
sera infini ainsi que tous les suivants, et que tous les précédents seront nuls. D’où il suit que les fonctions dérivées de l’ordre ième et des ordres suivants deviendront infinies lorsque
Dans ce cas donc, si est l’indice de l’ordre de la première fonction qui devient infinie, le développement de devra contenir un terme de forme étant un nombre compris entre et
Si c’est-à-dire si la fonction devient elle-même infinie, ce développement contiendra alors des puissances de
On doit appliquer aux logarithmes ce qu’on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de car on a vu, à la fin de la Leçon IV, que les logarithmes répondent aux puissances fractionnaires dont l’exposant est infiniment petit, c’est-à-dire aux racines infinitièmes, et que c’est par cette raison qu’il y a toujours une infinité de logarithmes répondant à un même nombre.
Aussi, par la même raison, lorsqu’on résout une fonction en série suivant les puissances d’une même quantité, il peut se trouver quelquefois le logarithme de cette quantité entre les puissances positives et les puissances négatives de la même quantité, lorsque la fonction elle-même contient des logarithmes.
Ainsi, si la fonctionn contient des logarithmes, le développement de pourra contenir, dans le cas particulier de des termes de la forme et les fonctions dérivées
