Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/75

En prenant les fonctions dérivées suivant les règles générales, on aura

$f'(x)=2(a-x)+{\frac {ax}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}},$

$f''(x)=-2+{\frac {a}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}-{\frac {ax^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

et ainsi de suite.

En faisant $x=a,$ on a

$f(x)=a^{2},\quad f'(x)=+{\frac {1}{0}}\,;$

donc toutes les fonctions dérivées des ordres suivants seront aussi infinies, et le développement de $f(a+i)$ contiendra nécessairement un terme de la forme $\mathrm {A} i^{m},$ $m$ étant entre $0$ et $1.$

En effet, on aura, par la substitution de $a+i$ dans l’expression de $f(x),$

$f(a+i)=a^{2}-i^{2}+a{\sqrt {i}}{\sqrt {2a+i}},$

d’où l’on voit que le développement suivant les puissances de $i$ contiendra des termes de la forme ${\sqrt {i}},i{\sqrt {i}},i^{2}{\sqrt {i}},\ldots .$

Soit, en second lieu,

$f(x)={\sqrt {x}}+(x-a)^{2}l(x-a)\,;$

on aura ces fonctions dérivées

${\begin{aligned}f'(x)\ \ &={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+2(x-a)l(x-a)+x-a,\\f''(x)\ &=-{\frac {1}{4x{\sqrt {x}}}}+2l(x-a)+3,\\f'''(x)&={\frac {3}{8x^{2}{\sqrt {x}}}}+{\frac {2}{x-a}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $x=a,$ la fonction dérivée $f''(x)$ devient infinie, ainsi que toutes les suivantes.

Ainsi le développement de $f(x+i)$ par la formule générale devien-