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on aura

${\begin{aligned}y'\ =&1+2(x-a){\sqrt {x-b}}+{\frac {(x-a)^{2}}{2{\sqrt {x-b}}}},\\y''=&2{\sqrt {x-b}}+{\frac {(x-a)}{\sqrt {x-b}}}-{\frac {(x-a)^{2}}{2(x-b)^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

Faisant $x=a,$ on a

$y=a,\quad y'=1\quad {\text{et}}\quad y''=2{\sqrt {a-b}},$

Mais, si l’on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle

$(y-x)^{2}=(x-a)^{4}(x-b),$

on en tirera l’équation dérivée

$2(y-x)(y'-1)=4(x-a)^{3}(x-b)+(x-a)^{4},$

dans laquelle, en faisant $x=a$ et $y=a,$ tout se détruit.

On passera donc à l’équation dérivée du second ordre, laquelle sera

$(y-x)y''+(y'-1)^{2}=6(x-a)^{2}(x-b)+8(x-a)^{3}.$

Faisant $x=a$ et $y=a,$ on aura

$(y'-1)^{2}=0,\quad {\text{et par conséquent}}\quad y'=1\,;$

mais, pour avoir la valeur de $y'',$ il faudra avoir recours à l’équation tierce, et même à l’équation quarte.

On aura ainsi

$(y-x)y'''+3(y'-1)y''=18(x-a)^{2}+12(x-a)(x-b),$

où tout se détruit encore en faisant $x=a,$ $y=a,$ $y'=1.$

L’équation dérivée de l’ordre suivant sera donc

$(y-x)y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+4(y'-1)y'''+3y''^{2}=48(x-a)+12(x-b).$

Faisant ici $x=a,\ y=a,\ y'=1,$ on aura

$3y''^{2}=12(a-b),$

d’où l’on tire

$y''=2{\sqrt {a-b}},$

comme plus haut.