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les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, et l’on aura la nouvelle fraction

${\frac {-n(n+1)x^{n-1}+n(n+1)x^{n}}{-2(1-x)}},$

qui, en faisant $x=1,$ devient de nouveau ${\frac {0}{0}}.$ On prendra derechef les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur de cette dernière fraction, et l’on aura celle-ci

${\frac {-n(n+1)(n-1)x^{n-2}+n^{2}(n+1)x^{n-1}}{2}},$

laquelle, lorsque $x=1,$ devient

${\frac {-n(n+1)(n-1)+n^{2}(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}},$

somme de la série

$1+2+3+\ldots +n.$

On pourrait craindre qu’en prenant ainsi les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, on n’eût toujours des fonctions qui devinssent égales à zéro divisé par zéro pour la même valeur de $x\,;$ mais il est aisé de se convaincre que cela ne saurait avoir lieu. Car, si $x=a$ faisait évanouir les fonctions $f(x),f'(x),f''(x),\ldots$ à l’infini, puisqu’on a en général

$f(x+i)=f(x)+if'(x){\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$

on aurait, lorsque $x=a,$

$f(a+i)=0,$

quel que soit $i,$ ce qui est impossible. Il en serait de même de $\operatorname {F} (x+i).$

Il peut néanmoins arriver que ces fonctions deviennent à la fois infinies par la même supposition de $x=a,$ ce qui rendrait également indéterminées les valeurs des fractions ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},{\frac {f'(x)}{\operatorname {F} '(x)}},\ldots \,;$ mais ce cas rentre alors dans le cas général que nous avons examiné plus haut, et