à moins qu’elle ne contienne un facteur
étant un nombre positif quelconque. Donc, si deux fonctions de
deviennent nulles par la même supposition, il faudra qu’elles contiennent chacune un pareil facteur ; et, pour trouver alors la valeur de la fraction formée de ces deux fonctions, il ne s’agira que de la réduire à sa plus simple expression, en la dégageant du facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Si donc on fait
ce qui donne
le facteur commun sera une puissance de
qui s’évanouira par la division, et alors il n’y aura plus qu’à faire
pour avoir
Ainsi, ayant la fraction
la substitution de
au lieu de
donnera d’abord en général
![{\displaystyle {\frac {f(a)+if'(a)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(a)+\ldots }{\operatorname {F} (a)+i\operatorname {F} '(a)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fb4bd3c20efc6641132c91e9f110eadb3a7a53)
Si
et
le haut et le bas de la fraction seront divisibles par
et elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {f'(a)+{\frac {i}{2}}f''(a)+\ldots }{\operatorname {F} '(a)+{\frac {i}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733f91bfd579e2d032b8a98fb8c0bb1632bc7b80)
Faisant ensuite
pour avoir
on aura
pour la valeur de la fraction proposée, lorsque
Si
et
la fraction se réduira encore, et deviendra, par une nouvelle division par
![{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}f''(a)+{\frac {i}{2.3}}f'''(a)+\ldots }{{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {i}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e0dff9329bac06194268173c12b7ecbb8379e6)
laquelle, en faisant
se réduit à
et ainsi de suite.
On voit par là la raison de la règle donnée plus haut, et l’on voit en