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à moins qu’elle ne contienne un facteur $(x-a)^{m},$ $m$ étant un nombre positif quelconque. Donc, si deux fonctions de $x$ deviennent nulles par la même supposition, il faudra qu’elles contiennent chacune un pareil facteur ; et, pour trouver alors la valeur de la fraction formée de ces deux fonctions, il ne s’agira que de la réduire à sa plus simple expression, en la dégageant du facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Si donc on fait $x=a+i,$ ce qui donne $x-a=i,$ le facteur commun sera une puissance de $i$ qui s’évanouira par la division, et alors il n’y aura plus qu’à faire $i=0$ pour avoir $x=a.$

Ainsi, ayant la fraction ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},$ la substitution de $a+i$ au lieu de $x$ donnera d’abord en général

${\frac {f(a)+if'(a)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(a)+\ldots }{\operatorname {F} (a)+i\operatorname {F} '(a)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}.$

Si $f(a)=0$ et $\operatorname {F} (a)=0,$ le haut et le bas de la fraction seront divisibles par $i,$ et elle deviendra

${\frac {f'(a)+{\frac {i}{2}}f''(a)+\ldots }{\operatorname {F} '(a)+{\frac {i}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}.$

Faisant ensuite $i=0$ pour avoir $x=a,$ on aura ${\frac {f'(a)}{\operatorname {F} '(a)}}$ pour la valeur de la fraction proposée, lorsque $x=a.$

Si $f'(a)=0$ et $\operatorname {F} '(a)=0,$ la fraction se réduira encore, et deviendra, par une nouvelle division par $i,$

${\frac {{\frac {1}{2}}f''(a)+{\frac {i}{2.3}}f'''(a)+\ldots }{{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {i}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots }},$

laquelle, en faisant $i=0,$ se réduit à ${\frac {f''(a)}{\operatorname {F} ''(a)}}\,;$ et ainsi de suite.

On voit par là la raison de la règle donnée plus haut, et l’on voit en