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même temps que cette règle n’est bonne que pour les fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent à la fois un facteur de la forme $(x-a)^{m},$ $m$ étant un nombre entier positif. Aussi peut-on toujours résoudre ces cas en faisant disparaître ce facteur par les règles connues, pour réduire la fraction à sa plus simple expression.

Dans les autres cas où $m$ serait un nombre fractionnaire ou négatif, la règle sera en défaut, et il faudra alors réduire les deux fonctions $f(a+i)$ et $\operatorname {F} (a+i)$ dans les séries ascendantes

$\alpha i^{m}+\beta i^{m+n}+\ldots \quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} i^{m}+\mathrm {B} i^{m+p}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura

${\frac {f(a+i)}{\operatorname {F} (a+i)}}={\frac {\alpha +\beta i^{n}+\ldots }{\mathrm {A} +\mathrm {B} i^{p}+\ldots }},$

et, faisant $i=0,$ on a

${\frac {f(a)}{\operatorname {F} (a)}}={\frac {\alpha }{\mathrm {A} }}.$

Si les premiers termes des deux séries contenaient des puissances différentes de $i,$ par exemple, si, la série du numérateur étant la même que ci-dessus, celle du dénominateur était

$\mathrm {A} i^{p}+\mathrm {B} i^{p+q}+\ldots ,$

$m$ et $p$ étant des nombres quelconques, mais $n,q,\ldots$ étant positifs pour que les deux séries soient toujours ascendantes, alors, faisant $i=0,$ après avoir divisé le haut et le bas de la fraction par la plus petite des deux puissances $i^{m}$ et $i^{p},$ on aura ${\frac {f(a)}{\operatorname {F} (a)}}=0$ ou $=\infty$ suivant que $m>$ ou $<p,$ en regardant les nombres négatifs comme moindres que les positifs. Mais, par ce que nous avons démontré plus haut, on est assuré que ces cas n’auront lieu que lorsque les valeurs des fonctions dérivées de $f(x)$ et de $\operatorname {F} (x)$ deviendront infinies en même temps, par la supposition de $x=a.$

L’analyse que nous venons de donner est nécessaire pour ne rien laisser à désirer sur la nature des fonctions dérivées ; mais, comme