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LEÇON NEUVIÈME.

De la manière d’avoir les limites du développement d’une fonction, lorsqu’on n’a égard qu’a un nombre déterminé de termes. Cas dans lesquels les principes du calcul différentiel sont en défaut. Théorème fondamental. Limites de plusieurs séries. Manière rigoureuse d’introduire les fonctions dérivées dans la théorie des courbes et dans celle des mouvements variés.

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Toute fonction $f(x+i)$ se développe, ainsi qu’on l’a vu, dans la série

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+\ldots ,$

laquelle va naturellement à l’infini, à moins que les fonctions dérivées de $f(x)$ ne deviennent nulles, ce qui a lieu lorsque $f(x)$ est une fonction rationnelle et entière de $x.$

Tant que ce développement ne sert qu’à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l’infini ou non ; il l’est aussi lorsqu’on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction ; mais, si on veut l’employer pour avoir la valeur de la fonction dans les cas particuliers, comme offrant une expression d’une forme plus simple à raison de la quantité $i$ qui se trouve dégagée de dessous la fonction, alors, ne pouvant tenir compte que d’un certain nombre plus ou moins grand de termes, il est important d’avoir un moyen d’évaluer le reste de la série qu’on néglige, ou du moins de trouver des limites de l’erreur qu’on commet en négligeant ce reste.

La détermination de ces limites est surtout d’une grande importance