dans l’application de la Théorie des fonctions à l’Analyse des courbes et à la Mécanique, pour pouvoir donner à cette application la rigueur de l’ancienne Géométrie, comme on le voit dans la seconde Partie de la Théorie des fonctions analytiques.
Dans la solution que j’ai donnée de ce problème dans l’Ouvrage cité, j’ai commencé par chercher l’expression exacte du reste de la série, ensuite j’ai déterminé les limites de cette expression. Mais on peut trouver immédiatement ces limites d’une manière plus élémentaire, et également rigoureuse.
Nous allons, pour cela, établir ce principe général, qui peut être utile dans plusieurs occasions :
Une fonction qui est nulle lorsque la variable est nulle aura nécessairement, pendant que la variable croîtra positivement, des valeurs finies et de même signe que celles de sa fonction dérivée, ou de signe opposé si la variable croît négativement, tant que les valeurs de la fonction dérivée conserveront le même signe et ne deviendront pas infinies.
Ce principe est très important dans la théorie des fonctions, parce qu’il établit une relation générale entre l’état des fonctions primitives et celui des fonctions dérivées, et qu’il sert à déterminer les limites des fonctions dont on ne connaît que les dérivées.
Nous allons le démontrer d’une manière rigoureuse.
Considérons la fonction dont le développementgénéral est
Nous avons vu, dans la Leçon précédente, que la forme du développement peut être différente pour des valeurs particulières de mais que, tant que ne sera pas infinie, les deux premiers termes de ce développement seront exacts, et que les autres contiendront par conséquent des puissances de plus hautes que la première, de manière qu’on aura
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i[f'(x)+\mathrm {V} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d54a6167b87ab86697828230f951992c1e0e5b)
