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$\mathrm {V}$ étant une fonction de $x$ et $i,$ telle qu’elle devienne nulle lorsque $i=0.$

Donc, puisque $\mathrm {V}$ devient nul lorsque $i$ devient nul, il est clair que, en faisant croître $i$ par degrés insensibles depuis zéro, la valeur de $\mathrm {V}$ croîtra aussi insensiblement depuis zéro, soit en plus ou en moins, jusqu’à un certain point, après quoi elle pourra diminuer ; que par conséquent on pourra toujours donner à $i$ une valeur telle que la valeur correspondante de $\mathrm {V} ,$ abstraction faite du signe, soit moindre qu’une quantité donnée, et que pour les valeurs moindres de $i$ la valeur de $\mathrm {V}$ soit aussi moindre.

Soit $\mathrm {D}$ une quantité donnée qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra ; on pourra donc toujours donner à $i$ une valeur assez petite pour que la valeur de $\mathrm {V}$ soit renfermée entre les limites $\mathrm {D}$ et $-\mathrm {D} \,;$ donc, puisqu’on a

$f(x+i)-f(x)=i[f'(x)+\mathrm {V} ],$

il s’ensuit que la quantité $f(x+i)-f(x)$ sera renfermée entre ces deux-ci

$i\left[f'(x)\pm \mathrm {D} \right].$

Comme cette conclusion a lieu quelle que soit la valeur de $x,$ pourvu que $f'(x)$ ne soit pas infinie, elle subsistera aussi en mettant successivement

$x+i,\ \ x+2i,\ \ x+3i,\ \ \ldots ,\ \ x+(n-1)i$

à la place de $x\,;$ de sorte qu’on pourra toujours prendre $i$ positif et assez petit pour que les valeurs des quantités

${\begin{aligned}&f(x+i)-f(x),\\&f(x+2i)-f(x+i),\\&f(x+3i)-f(x+2i),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&f(x+ni)-f\left[x+(n-1)i\right]\end{aligned}}$