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comme on l’a vu dans la Leçon II. On aura donc

$f^{\mu }(x+i)=\mathrm {M} (x+i)^{m-\mu },$

où l’on voit que cette fonction ne peut jamais devenir infinie tant que $x+i$ n’est pas $=0$ et que $\mu$ n’est pas $>m.$ On voit aussi que la plus petite et la plus grande valeur de $\mathrm {M} (x+i)^{m-\mu }$ répondent, l’une à $i=0,$ et l’autre à $i\,;$ de sorte queles valeurs $p$ et $q$ seront $x$ et $x+i,$ ou $x+i$ et $x.$

Donc, en général, le développement de $(x+i)^{m}$ sera compris entre ces deux limites

${\begin{aligned}x^{m}+mix^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}i^{2}x^{m-2}+\ldots +&{\frac {\mathrm {M} i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}x^{m-\mu },\\x^{m}+mix^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}i^{2}x^{m-2}+\ldots +&{\frac {\mathrm {M} i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}(x+i)^{m-\mu }.\end{aligned}}$

Par le moyen de ces limites, on est à couvert des difficultés qui peuvent résulter de la non-convergence de la série ; car, comme un terme quelconque $n$^ième est au suivant dans le rapport de $1$ à ${\frac {m-n+1}{n}}{\frac {i}{x}},$ pour que la série soit convergente, il faut que la quantité ${\frac {m-n+1}{n}}{\frac {i}{x}},$ abstraction faite du signe qu’elle doit avoir, soit moindre que l’unité. Si ${\frac {i}{x}}<1,$ il est clair que la série finira toujours par être convergente, puisque la dernière valeur de</math> 1 ${\frac {m-n+1}{n}}$ est $-1.$ Mais elle sera toujours divergente à son extrémité, si ${\frac {i}{x}}>1,$ quoiqu’elle puisse être convergente dans ses premiers termes. Ainsi elle ne pourra alors être employée avec sûreté, quelque loin qu’elle soit portée, qu’en ayant égard aux limites que vous venons de donner.

Supposons, en second lieu,

$f(x+i)=a^{x+i}\,;$

on aura

$f(x)=a^{x},$