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MÉCANIQUE ANALYTIQUE
par laquelle la formule générale de la Dynamique diffère de celle de la Statique (art. 5), est indépendante de la position des axes des coordonnées
Car, supposons qu’à la place de ces coordonnées on substitue d’autres coordonnées rectangles
qui aient la même origine, mais qui se rapportent à d’autres axes. Par les formules de la transformation des coordonnées, données dans la première Partie (sect. III, art. 10), on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x=&\alpha \ \,x'+\beta \ \ y'+\gamma \ \ z',\\y=&\alpha '\,x'+\beta '\ y'+\gamma '\ z',\\z=&\alpha ''x'+\beta ''y'+\gamma ''z',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0bab41b9cabe7a5868d82f03121e05b40b9e18)
Différentions ces expressions de
en y regardant tous les coefficients
comme constants et les nouvelles coordonnées
comme seules variables, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d^{2}x=&\alpha \ \ d^{2}x'+\beta \ \ d^{2}y'+\gamma \ \ d^{2}z',\\d^{2}y=&\alpha '\,d^{2}x'+\beta '\ d^{2}y'+\gamma '\ d^{2}z',\\d^{2}z=&\alpha ''d^{2}x'+\beta ''d^{2}y'+\gamma ''d^{2}z'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d7f0100992367be7675290c4980afdcbd6b431)
On aura de même
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\delta x=&\alpha \ \ \delta x'+\beta \ \,\delta y'+\gamma \ \ \delta z',\\\delta y=&\alpha '\,\delta x'+\beta '\ \delta y'+\gamma '\ \delta z',\\\delta z=&\alpha ''\delta x'+\beta ''\delta y'+\gamma ''\delta z'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8166d6b9ada2b877ca08c4f23131c9ccc79270)
Substituant ces valeurs et ayant égard aux équations de condition données dans l’article cité, entre les coefficients
on aura
![{\displaystyle d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=d^{2}x'\,\delta x'+d^{2}y'\,\delta y'+d^{2}z'\,\delta z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4507e603c71e92a25417ff1ef036154d2483a51)
Si l’on fait les mêmes substitutions dans l’expression des distances rectilignes entre les différents corps du système, représentées par
il est facile de voir que les quantités
disparaîtront également et que les transformées conserveront la même forme. En effet, on a
![{\displaystyle \mathrm {p} ={\sqrt {(x-\mathrm {x} )^{2}+(y-\mathrm {y} )^{2}+(z-\mathrm {z} )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4078d96c62c459be4a6c446f9cb841a9fff657)
étant les coordonnées d’un corps
et
celles d’un autre