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SECONDE PARTIE. — SECTION IV.

laquelle est évidemment intégrale et dont l’intégrale est

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots -\mathrm {\mathrm {T} +\mathrm {V} =const.}$

Maintenant, puisque

$\mathrm {T} =$_S${\frac {1}{2}}\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right),$

il est évident que, quelques variables qu’on substitue pour $x,\,y,\,z,$ la fonction résultante sera nécessairement homogène et de deux dimensions relativement aux différences de ces variables ; donc, par le théorème connu, on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots =2\mathrm {T} .$

Donc l’intégrale trouvée sera simplement

$\mathrm {T+V=const.} ,$

laquelle contient le principe de la conservation des forces vives (sect. III, art. 34).

Si la quantité $\mathrm {V}$ n’était pas une fonction algébrique^[1], on n’aurait pas

${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}d\xi +\ldots =d\mathrm {V} ,$

et si les quantités $\mathrm {T,\,L,\,M} ,\ldots$ contenaient aussi la variable $t,$ alors

1. Il faut, pour comprendre ce passage, se rappeler la définition de la fonction $\mathrm {V} .$ On a posé (art. 9)
   $d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ,$

   puis ensuite

   $\mathrm {V} =$_S$\mathrm {m} \Pi .$

   Pour que $\mathrm {V}$ soit, suivant l’expression de Lagrange, une fonction algébrique, il faut et il suffit que $\Pi$ en soit une, c’est-à-dire que

   $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

   soit une différentielle exacte ; si cela n’a pas lieu, la fonction $\Pi$ n’existe plus, et il en est de même de $\mathrm {V} \,:$ fonction algébrique signifie simplement ici fonction, et cette expression ne doit, en aucune façon, être regardée comme opposée à celle de fonction non algébrique. (J. Bertrand.)