Supposons, comme il est permis de le faire sans nuire à la généralité, que la position d’équilibre du système, ou le maximum de la fonction corresponde aux valeurs La démonstration donnée par Lagrange (Mécanique analytique, Ire Partie, sect. III) se ramène à ceci : le développement de la fonction suivant les puissances de qui commence par les termes du second ordre, est réduit à ces termes ; puis, d’après la condition connue du maximum, que les termes du second ordre peuvent être considérés comme une somme de carrés négatifs, on déduit, pour des limites que ces quantités ne peuvent pas franchir. Ce genre de démonstration, employé encore dans d’autres questions de stabilité, et surtout dans l’Astronomie physique, manque de rigueur. En effet, on peut douter avec raison que des grandeurs pour lesquelles on trouve, avec l’hypothèse qu’elles seront toujours petites (car ce n’est que dans ce cas que l’on peut négliger les termes d’un ordre supérieur), de petites limites, resteront toujours renfermées réellement, au bout d’un temps quelconque, dans ces limites, et même, en général, dans des limites petites.
La démonstration que nous venons de citer a été reproduite, sans modification importante que je sache, par tous les auteurs qui se sont occupés de cette matière ; et tout ce que Poisson (Traité de Mécanique, t. II, p. 492) y a ajouté pour faire entrer en considération les termes d’un ordre supérieur repose sur cette hypothèse inadmissible, que chaque terme du second ordre surpasse la somme de tous les termes d’ordre supérieur.
Même en complétant les considérations de Lagrange, pour le cas auquel elles s’appliquent et où le maximum se reconnaît par les termes du second ordre, le théorème en question ne serait point prouvé dans toute son étendue. On sait que l’existence d’un maximum est compatible avec l’évanouissement des termes du second ordre ; il suffit, en général, que les premiers termes différents de zéro soient d’ordre pair, et que la somme de ces termes soit toujours négative. Les formules relatives à cette dernière condition n’ont pas encore été données, même dans le cas où il s’agit des termes du quatrième ordre. Il faudrait donc les rechercher d’abord. Cela introduirait nécessairement dans la démonstration du théorème de Mécanique dont nous parlons une grande complication. Heureusement, on peut démontrer le principe de la stabilité de l’équilibre indépendamment de ces formules, par une considération très simple qui se rattache d’une manière immédiate à l’idée du maximum.
Outre la supposition déjà faite, que la position d’équilibre réponde aux valeurs nous supposerons encore que ce
