NOTE II.
Sur la stabilité de l’équilibre ; par M. Lejeune-Dirichlet.
Si un système de points matériels est sollicité par des forces attractives ou répulsives qui ne dépendent que de la distance, et qui sont dirigées vers des centres fixes ou qui proviennent des actions mutuelles entre deux masses, l’action et la réaction étant égales ; si, en outre, les équations de condition qui lient les coordonnées des différents points ne contiennent pas le temps, l’équation des forces vives aura lieu. Cette équation est
Le signe s’étend à toutes les masses du système, chaque masse étant représentée par et sa vitesse par est une constante arbitraire. La fonction des coordonnées ne dépend que de la nature des forces et peut s’exprimer par un nombre déterminé de variables indépendantes de sorte que l’équation des forces vives s’écrira
La fonction est liée d’une manière intime aux positions d’équilibre du système ; car la condition qui exprime que, pour certaines valeurs déterminées de le système est dans une position d’équilibre, coïncide avec celle qui exprime que, pour ces mêmes valeurs, la différentielle totale de est nulle ; de sorte qu’en général, pour chaque position d’équilibre, la fonction sera un maximum ou un minimum. Si le maximum a lieu réellement, l’équilibre est stable, c’est-à-dire que, si l’on déplace infiniment peu les points du système de leurs positions d’équilibre, et qu’on donne à chacun une petite vitesse initiale, dans tout le cours du mouvement les déplacements des différents points du système, par rapport à la position d’équilibre, resteront toujours compris entre certaines limites déterminées et très petites.
Ce théorème est un des plus importants de la Mécanique. Il est la base de la théorie des petites oscillations, qui conduit à tant d’applications intéressantes relatives à la Physique. On doit donc s’étonner qu’on n’en ait donné jusqu’ici qu’une démonstration peu rigoureuse et insuffisante.
