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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Dans ce cas, $h+k$ sera l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec une ligne fixe ; par conséquent, $dh+dk,$ ou $d\chi ,$ sera la rotation élémentaire du grand axe de l’orbite sur son plan.

L’angle élémentaire $di$ sera l’inclinaison comprise entre deux positions successives du plan de l’orbite devenue mobile, et l’angle $h$ sera la longitude du nœud formé par ces deux positions, comptée sur le même plan ; de sorte qu’en désignant par $di'$ et $h'$ ces deux éléments, on aura

di'={\sqrt {d\pi ^{2}+d\sigma ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \operatorname {tang} h'={\frac {d\pi }{d\sigma }}.

Ainsi la variation instantanée de la position de l’orbite est déterminée par les trois éléments $d\chi ,d\pi ,d\sigma ,$ d’une manière indépendante de tout plan de projection.

73. Il est maintenant très facile de trouver les valeurs des autres coefficients représentés par les symboles $[a,h],\,[b,h],\ldots \,;$ il n’ya qu’à substituer pour $\mathrm {XY'-YX'} ,$ c’est-à-dire pour ${\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}},$ sa valeur, qui est égale à $\mathrm {D}$ (art. 11) ou à ${\sqrt {\mathrm {g} b}}$ (art. 15), et pour $d\chi ,d\pi ,d\sigma ,$ leurs valeurs en $h,\,i,\,k$ de l’article précédent ; mais, à la place de l’élément $k,$ nous retiendrons l’élément $\chi$ ^[1], qui exprime l’angle que le grand axe de l’orbite parcourt en tournant sur son plan mobile c’est proprement le mouvement de l’aphélie ou du périhélie sur le plan même de l’orbite. Nous aurons ainsi

\chi =k+\int \cos i\,dh\,;

donc

k=\chi -\int \cos i\,dh\,;

↑ Il faut avouer que l’application ultérieure des formules de l’article 64 exigerait quelques explications, car ces formules supposaient $\Omega$ exprimé en fonction des constantes du mouvement elliptique, et la lettre $\chi$ n’en est pas une. Cette lettre $\chi$ n’a pas même de sens précis, puisqu’elle n’a été définie que par sa différentielle. Voir, à ce sujet, des observations très fondées de M. Binet (Journal de l’École Polytechnique, XXVIII^e Cahier, t. XVII, p. 76). (J. Bertrand.)

[1] Il faut avouer que l’application ultérieure des formules de l’article 64 exigerait quelques explications, car ces formules supposaient $\Omega$ exprimé en fonction des constantes du mouvement elliptique, et la lettre $\chi$ n’en est pas une. Cette lettre $\chi$ n’a pas même de sens précis, puisqu’elle n’a été définie que par sa différentielle. Voir, à ce sujet, des observations très fondées de M. Binet (Journal de l’École Polytechnique, XXVIII^e Cahier, t. XVII, p. 76). (J. Bertrand.)

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