Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/101

93

SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

affecter d’un trait les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Il en sera de même des différences partielles relatives à $i$ et $k,$ en ne faisant que changer $h$ en $i$ et $k.$

En faisant ces substitutions et ayant toujours égard aux mêmes équations de condition, la formule

${\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {\partial x'}{\partial i}}+{\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial y'}{\partial i}}+{\frac {\partial z}{\partial h}}{\frac {\partial z'}{\partial i}}-{\frac {\partial x'}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial i}}-{\frac {\partial y'}{\partial h}}{\frac {\partial y}{\partial i}}-{\frac {\partial z'}{\partial h}}{\frac {\partial z}{\partial i}}$

se réduira à celle-ci

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\-&\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} '{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\left(\mathrm {X} \ {\frac {\partial \pi }{\partial h}}+\mathrm {Y} \ {\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right)\\&=(\mathrm {XY'-YX'} )\left({\frac {\partial \pi }{\partial h}}{\frac {\partial \sigma }{\partial i}}-{\frac {\partial \pi }{\partial i}}{\frac {\partial \sigma }{\partial h}}\right).\end{aligned}}$

Il en sera de même des formules semblables, en changeant $h$ en $i$ et $k.$

Comme les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots$ sont fonctions des trois éléments $h,\,i,\,k$ (art. 13 et 14), les trois quantités $d\chi ,\,d\pi ,\,d\sigma$ que nous avons introduites dans les formules précédentes doivent être aussi fonctions des mêmes éléments ; et si, dans les valeurs de ces trois quantités, on substitue les expressions de $\alpha ,\,\beta ,\ldots$ données dans les articles cités, on trouve, après quelques réductions fort simples,

${\begin{aligned}d\chi =&dk+\cos a\,dh,\\d\pi =&-\cos k\sin i\,dh+\sin k\,di,\\d\sigma =&\sin k\sin i\,dh+\cos k\,di.\end{aligned}}$

Mais ces quantités ne servent pas seulement à simplifier le calcul. ; elles représentent d’une manière fort simple les variations instantanées de la position de l’orbite. En effet, comme le plan des $xy,$ auquel nous avons rapporté l’inclinaison $i$ et la longitude $h$ du nœud, est arbitraire, on peut le faire coïncider dans un instant avec celui de l’orbite, en faisant $i=0\,;$ on aura alors

$d\chi =dk+dh,\quad d\pi =\sin k\,di,\quad d\sigma =\cos k\,di.$