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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

pourrait aussi regarder comme force perturbatrice la résistance qu’elles éprouveraient de la part d’un fluide très subtil, dans lequel on les supposerait nager. Dans ce cas, en prenant $\mathrm {R}$ pour la résistance, on ferait, comme on l’a vu dans l’article 8 de la Section II,

$\delta r={\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z,$

le fluide résistant étant supposé en repos.

Il en résultera ainsi, dans la valeur de $\delta \Omega ,$ les termes (art. 62)

$-\mathrm {R} \delta r=-\mathrm {R} {\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{ds}}.$

On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, laquelle est représentée par ${\frac {ds}{dt}},$ et à la densité du milieu, que nous désignerons par $\Gamma \,;$ ainsi les termes dus à la résistance, dans l’expression de $\delta \Omega ,$ seront

$-{\frac {\Gamma ds(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt^{2}}}.$

Pour évaluer la quantité $dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z,$ il n’y a qu’à employer les formules des articles 67 et 70, en observant que la caractéristique $d$ se rapporte au temps $t,$ qui n’entre que dans les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ et que la caractéristique $\delta$ doit se rapporter aux constantes arbitraires $a,\,b,\ldots$ qui entrent dans $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ et dans les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots .$

On aura ainsi, en changeant $d$ en $\delta$ dans les expressions de $d\alpha ,d\beta ,\ldots ,$

${\begin{aligned}dx=&\alpha d\mathrm {X} +\beta d\mathrm {Y} ,\qquad dy=\alpha _{1}d\mathrm {X} +\beta _{1}d\mathrm {Y} ,\qquad dz=\alpha _{2}d\mathrm {X} +\beta _{2}d\mathrm {Y} ,\\\delta x=&\mathrm {\alpha \delta X+\beta \delta Y+X(\beta \delta \chi +\gamma \delta \pi )+Y(-\alpha \delta \chi +\gamma \delta \sigma )} \\=&\mathrm {\alpha (\delta X-Y\delta \chi )+\beta (\delta Y+X\delta \chi )+\gamma (X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta y=&\mathrm {\alpha _{1}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{1}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{1}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} ,\\\delta z=&\mathrm {\alpha _{2}(\delta X-Y\delta \chi )+\beta _{2}(\delta Y+X\delta \chi )+\gamma _{2}(X\delta \pi +Y\delta \sigma )} .\end{aligned}}$