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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

De là, en ayant égard aux équations de condition entre les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha _{1},\ldots$ (art. 14), on aura

$dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z=d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} +\left(\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} \right)\delta \chi .$

et si l’on y substitue pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ leurs valeurs $r\cos \Phi ,\,r\sin \Phi$ (art. 13), on aura

$d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} =dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi ,$

$\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} =r^{2}d\Phi ,$

$ds={\sqrt {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}}}={\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}.$

Donc les termes à ajouter à $\delta \Omega ,$ à raison de la résistance du milieu, seront représentés par

$-{\frac {\Gamma {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\Phi ^{2}}}\left(dr\delta r+r^{2}d\Phi \delta \Phi +r^{2}d\Phi \delta \chi \right)}{dt^{2}}},$

où il n’y aura plus qu’à substituer pour $r$ et $\Phi$ leurs valeurs en $t,$ données par les formules des articles 21, 22, en faisant attention que la caractéristique $d$ se rapporte à la variable $t,$ et la $\delta$ aux constantes arbitraires.

CHAPITRE III.

Sur le mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.

80. Quoique ce problème ne puisse avoir aucune application au système du monde, où tous les centres d’attraction sont en mouvement, il est néanmoins assez intéressant du côté analytique pour mériter d’être traité en particulier avec quelque détail.

Supposons qu’un corps isolé soit attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.

Soient, comme dans l’article 4, l’un des centres à l’origine des coordonnées, et $\mathrm {R}$ la force attractive ; et, pour l’autre centre, supposons que sa position soit déterminée par les coordonnées $a,b,c,$ parallèles