Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/114

106

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

par $d(r^{2}),$ donnent une somme intégrable et dont l’intégrale est

(b)

${\begin{aligned}{\frac {d\left(r^{2}\right)d\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}-{\frac {\alpha \left(3r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)}{r}}&-{\frac {\beta \left(3q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)}{q}}\\&=4\mathrm {H} \left(r^{2}+q^{2}\right)+2\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation, étant multipliée par $r^{2}+q^{2}-h^{2}$ et ajoutée à l’intégrale (a) trouvée précédemment, donne, dans l’hypothèse présente, une réduite de la forme

(c)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {q^{2}\left[d\left(r^{2}\right)\right]^{2}+r^{2}\left[d\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{2dt^{2}}}-2\alpha r\left(3q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)-2\beta q\left(3r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)\\&\quad =2\mathrm {H} \left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}-h^{4}\right)+2\mathrm {C} \left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)-2\mathrm {B} ^{2}h^{2}.\end{aligned}}\right.$

Et la même équation, étant multipliée par $2rq$ et ensuite ajoutée à celle-ci, ou retranchée, donnera cette double équation

(d)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\left[qd\left(r^{2}\right)\pm rd\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{4dt^{2}}}-\alpha \left[(r\pm q)^{3}-h^{2}(r\pm q)\right]-\beta \left[(q\pm r)^{3}-h^{2}(q\pm r)\right]\\&\quad =\mathrm {H} \left[(r\pm q)^{4}-h^{4}\right]+\mathrm {C} (r\pm q)^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2},\end{aligned}}\right.$

de sorte qu’en faisant $r+q=s,\ r-q=u,$ on aura ces deux-ci

(e)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2}ds^{2}}{16dt^{2}}}&-(\alpha +\beta )s^{3}+h^{2}(\alpha +\beta )s\\&=\mathrm {H} \left(s^{4}-h^{4}\right)+\mathrm {C} s^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2},\\{\frac {\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2}du^{2}}{16dt^{2}}}&-(\alpha -\beta )u^{3}+h^{2}(\alpha -\beta )u\\&=\mathrm {H} \left(u^{4}-h^{4}\right)+\mathrm {C} u^{2}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}\,;\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire d’abord cette équation, où les variables sont séparées,

(f)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}\\=&{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}\,;\end{aligned}}\right.$

ensuite

(g)

$dt=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {s^{2}ds}{4{\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}\\-&{\frac {u^{2}du}{4{\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$