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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

intégrale complète des deux équations ci-dessus en $r$ et $q.$ En effet, on aura

$r^{2}d\psi ^{2}={\frac {\left[\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)dr-2rqdq\right]^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

ajoutant $dr^{2},$ et réduisant, il viendra

$r^{2}d\psi ^{2}+dr^{2}=4{\frac {q^{2}r^{2}dr^{2}+r^{2}q^{2}dq^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)rqdrdq}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}.$

De plus, on aura

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {4\mathrm {B} ^{2}h^{2}}{4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\,;$

donc, faisant ces substitutions dans la quatrième équation et ôtant le dénominateur, on aura cette intégrale

(a)

$\left\{{\begin{aligned}2&{\frac {q^{2}r^{2}dr^{2}+r^{2}q^{2}dq^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)rqdrdq}{dt^{2}}}+2\mathrm {B} ^{2}h^{2}\\&\quad +\left[4h^{2}r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}\right]\left(\int \mathrm {R} dr+\int \mathrm {Q} dq-2\mathrm {H} \right)=0.\end{aligned}}\right.$

Et il est facile de voir maintenant, d’après la forme de cette équation, qu’elle résulte des deux équations en $r$ et $q,$ multipliées respectivement par

$2q^{2}d\left(r^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(q^{2}\right),\quad 2r^{2}d\left(q^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)d\left(r^{2}\right),$

ajoutées ensemble et intégrées ensuite ; mais il aurait été assez difficile de découvrir cette intégrale a priori.

81. Pour achever la solution, il faut avoir encore une autre intégrale des mêmes équations ; mais on ne saurait y parvenir que pour des valeurs particulières de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} .$

Si l’on suppose, ce qui est le cas de la nature,

$\mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}},$

on trouve alors que ces équations, multipliées l’une par $d(q^{2}),$ et l’autre