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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
étant une constante, et
une quantité infiniment petite, et désignant par
ce que devient
lorsqu’on change
en
le membre
deviendra
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{\sqrt {\mathrm {F} +{\cfrac {d\mathrm {F} }{df}}\omega +{\cfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}\omega ^{2}+\ldots }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9970ef2a8659996cfe1ef79e296864a0eecd836)
il faudra donc, pour qu’il y ait le même nombre de dimensions de
en haut et en bas, que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5063ec5785c6bb8d3df47b23fe13ef155cb8b797)
alors, à cause de
infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à
![{\displaystyle {\frac {d\omega }{\omega {\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7410c532a65fbf54d0ddd1ce40c6f1e7fc389ca1)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} }{2df^{2}}}}}\log {\frac {\omega }{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4e85bdad75ac4b660385e36bf67e61a6f64c36)
étant une constante arbitraire. Si donc on fait
et qu’on prenne en même temps aussi
la valeur de
deviendra indéterminée, et l’équation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir l’autre membre
Or on sait, et il est visible par soi-même, que
![{\displaystyle \mathrm {F} =0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{df}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b750ced05a3dc061231919c0c2eada4b4c69b4ad)
sont les conditions qui rendent
une racine double de l’équation
D’où[1] il suit, en général, que, si le polynôme
a une ou plu-
- ↑ Dans sa Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, M. Serret a signalé la démonstration précédente comme peu rigoureuse ; il semble incontestable, en effet, que quelques développements sont nécessaires pour la rendre entièrement satisfaisante. (Voir une Note à la fin du Volume.) (J. Bertrand.)