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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

sieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur particulière de $s\,;$ il en sera de même pour le polynôme $\mathrm {U} .$

Maintenant il est clair que l’équation $s=f$ ou $r+q=f$ représente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons $r$ et $q,$ et dont le grand axe est égal à $f.$ De même, l’équation $u=g$ ou $r-q=g$ représente une hyperbole dont les foyers sont aux mêmes centres, et dont le premier axe est $g.$

Ainsi les solutions particulières dont nous venons de parler donnent des ellipses ou des hyperboles décrites autour des centres des forces ${\frac {\alpha }{r^{2}}},{\frac {\beta }{q^{2}}}$ pris pour foyers. Et comme les polynômes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {U}$ contiennent les trois constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,$ dépendant de la direction et de la vitesse initiales du corps, il est visible qu’on pourra toujours prendre ces éléments tels que le corps décrive une ellipse ou une hyperbole donnée autour des foyers donnés. Ainsi la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse des carrés des distances, ou tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre, ce qui est très remarquable^[1].

84. S’il n’y avait qu’un seul centre vers lequel le corps fût attiré par la force ${\frac {\alpha }{r^{2}}},$ on aurait le cas de l’orbite elliptique que nous avons résolu dans le Chapitre I. Dans ce cas, on aurait $\beta =0,\,\gamma =0,$ et les deux polynômes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {U}$ deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrième degré ; les équations $(f),\,(g),\,(h)$ de l’article 81 seraient alors intégrables par les méthodes connues, et le mouvement du corps serait déterminé par des formules en $s$ et $u,$ c’est-à-dire par les distances aux deux centres, dont l’un, celui dont l’attraction est nulle, pourrait être placé où l’on voudrait ces formules ne seraient donc que de pure curiosité ; mais il y a un cas où elles se simplifient et donnent un ré-

1. M. Ossian Bonnet a donné (Journal de M. Liouville, t. IX, p. 105) une raison très simple de ce fait qui est susceptible d’une généralisation intéressante. (Voir une Note à la fin du Volume.)(J. Bertrand.)