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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
substituant la valeur de
dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \xi '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \xi '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525237dd1ec32bd09d982ed0b28acbf38de7b6e5)
et l’on aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \eta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \eta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \eta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}} +\ldots =0,\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \zeta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d74787a7fe3d4e2cb165259cea18132233bbb5)
90. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l’avantage de s’appliquer également à des coordonnées quelconques.
Si l’on multiplie la première par
la deuxième par
la troisième par
et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}\delta \xi '+{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}\delta \eta '+{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}\delta \zeta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1cbc7e360ac94781f5225acac5dcc98a3a9405)
laquelle, en transformant les coordonnées
en d’autres coordonnées indépendantes
donnera pour les termes multipliés par
la formule (Sect. IV, art. 7)
![{\displaystyle \left(d{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\delta \xi }}\right)\delta \xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7cb07dc854cd4d9fda394e793c8d126b557bf1)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f97c0f14f9cfd041df413b3b57b753f011446a)
À l’égard des termes qui contiennent les forces
il est facile de voir qu’en changeant la caractéristique
en
tous ces termes sont intégrables par rapport aux variables
l’intégrale con-