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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

substituant la valeur de ${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \xi '}}$ dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \xi '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \xi '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}$

et l’on aura de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \eta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \eta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \eta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \eta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \eta '''}}} +\ldots =0,\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \zeta '}}&+\mathrm {m''R''_{_{'}}{\frac {\partial \rho ''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}+m'''R'''_{_{'}}{\frac {\partial \rho '''_{_{'}}}{\partial \zeta '}}} +\ldots \\&+\mathrm {m''R''{\frac {\partial \rho ''}{\partial \zeta ''}}+m'''R'''{\frac {\partial \rho '''}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =0,\end{aligned}}$

90. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l’avantage de s’appliquer également à des coordonnées quelconques.

Si l’on multiplie la première par $\delta \xi ',$ la deuxième par $\delta \eta ',$ la troisième par $\delta \zeta ',$ et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}\delta \xi '+{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}\delta \eta '+{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}\delta \zeta ',$

laquelle, en transformant les coordonnées $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ en d’autres coordonnées indépendantes $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ donnera pour les termes multipliés par $\delta \xi$ la formule (Sect. IV, art. 7)

$\left(d{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial d\xi }}-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\delta \xi }}\right)\delta \xi ,$

en faisant

$\mathrm {T} '={\frac {d\xi '^{2}+d\eta '^{2}+d\zeta '^{2}}{2dt^{2}}}.$

À l’égard des termes qui contiennent les forces $\mathrm {R',\,R''} ,\ldots ,$ il est facile de voir qu’en changeant la caractéristique $\delta$ en $d,$ tous ces termes sont intégrables par rapport aux variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '\,;$ l’intégrale con-