Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/127

Cette page a été validée par deux contributeurs.

119

SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Il n’y aura donc qu’à substituer la valeur de $\mathrm {V}$ et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables ; mais cette substitution peut se simplifier par la considération suivante.

89. Dénotons par $\mathrm {U}$ la somme de tous les termes de la quantité $\mathrm {V}$ qui contiennent les distances $\rho ''_{_{'}},\,\rho '''_{_{'}},\ldots ,\rho '''_{_{''}},\ldots ,$ et remarquons que les expressions de ces distances sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots$ qui y entrent d’une même quantité quelconque ; d’où il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de $\mathrm {U}$ sera nulle, ce qui donnera l’équation

\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \xi '}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0.

On trouvera de la même manière, parce que la même propriété a lieu par rapport aux coordonnées $\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',\ldots$ et aux coordonnées $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',\ldots ,$

{\begin{aligned}\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \eta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta '''}}} +\ldots =&0,\\\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =&0,\\\end{aligned}}

Donc, puisque

\mathrm {V} =\mathrm {m} \left(\mathrm {m} '\int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''+\ldots \right)+\mathrm {U} ,

$\rho '$ ne contenant que $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '\,;$ $\rho ''$ ne contenant que $\xi '',\,\eta '',\,\zeta '',$ et ainsi de suite, la première équation deviendra par ces substitutions, en la divisant par $\mathrm {m} ',$

{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}+\mathrm {m''R''} {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+\ldots +\mathrm {\frac {\partial U}{m'\partial \xi '}} =0.

Or, dans la quantité $\mathrm {U} ,$ il n’y a que les termes qui contiennent $\rho '',\,\rho ''',\ldots$ qui dépendent des variables $\xi ',\eta ',\zeta '$ (art. 86) ; ainsi l’on peut réduire la valeur de $\mathrm {U}$ à

\mathrm {U} =\mathrm {m} '\left(\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\,;