119
SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Il n’y aura donc qu’à substituer la valeur de
et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables ; mais cette substitution peut se simplifier par la considération suivante.
89. Dénotons par
la somme de tous les termes de la quantité
qui contiennent les distances
et remarquons que les expressions de ces distances sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées
qui y entrent d’une même quantité quelconque ; d’où il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de
sera nulle, ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \xi '}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \xi '''}}} +\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff90553eed4e8a254dcbe4212066c89451214ec)
On trouvera de la même manière, parce que la même propriété a lieu par rapport aux coordonnées
et aux coordonnées
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \eta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \eta '''}}} +\ldots =&0,\\\mathrm {{\frac {\partial U}{\partial \zeta '}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta ''}}+{\frac {\partial U}{\partial \zeta '''}}} +\ldots =&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbd6f45058cc69eac269325a2e0962fec862338)
Donc, puisque
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {m} \left(\mathrm {m} '\int \mathrm {R} 'd\rho '+\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''d\rho ''+\ldots \right)+\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e43761b4c8725d1977794beae236f6307b74516)
ne contenant que
ne contenant que
et ainsi de suite, la première équation deviendra par ces substitutions, en la divisant par ![{\displaystyle \mathrm {m} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dabbbf1bbba0b3f12fd72661f55c9126099a9f)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+\mathrm {(m+m')R'} {\frac {\partial \rho '}{\partial \xi '}}+\mathrm {m''R''} {\frac {\partial \rho ''}{\partial \xi ''}}+\ldots +\mathrm {\frac {\partial U}{m'\partial \xi '}} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a658007e14d14c4128c5794116d3efcce5da8ee2)
Or, dans la quantité
il n’y a que les termes qui contiennent
qui dépendent des variables
(art. 86) ; ainsi l’on peut réduire la valeur de
à
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {m} '\left(\mathrm {m} ''\int \mathrm {R} ''_{_{'}}d\rho ''_{_{'}}+\mathrm {m} '''\int \mathrm {R} '''_{_{'}}d\rho '''_{_{'}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9000f66d261777f8133e4b552ba49d71b4df6d)