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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
4. Supposons que le corps
soit attiré vers un centre fixe par une force
fonction de la distance
du corps au centre, on aura simplement
![{\displaystyle \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2ea54d356d8287df9bf965d2bd7e4bb800c170)
Prenons la distance
pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l’angle
que le rayon vecteur
fait avec le plan des
et l’angle
que la projection de
sur ce plan fait avec l’axe des
en plaçant l’origine des coordonnées rectangles
dans le centre des rayons
de manière que l’on ait
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc31036f1fa7397dfee56816719421504b300b51)
on trouve facilement
![{\displaystyle x=r\cos \psi \cos \varphi ,\quad y=r\cos \psi \sin \varphi ,\quad z=r\sin \psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af9be9db624a68bedc15e3f04bc8905384f0a3e)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}},\quad \mathrm {V} =\int \mathrm {R} dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ea6e670ed9e969d06e7f8f3e40fe2362ca04d5)
On aura donc ces trois équations différentielles relatives à ![{\displaystyle r,\,\psi ,\,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e693ceb4ec9d4ccf4ae2fc42d17e22c9702f31e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta dr}}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta r}}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta r}}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=&0,\\d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ce78d2d23192ead85ac909935e3763e588dc9d)
lesquelles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R} =0,\\&d{\frac {r^{2}d\psi }{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=0,\\&d{\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbed8f3ef679e842f41e567d8d2a41c1bc27e75)
et l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T+V=H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead76d4d06b96c1031480bdcbfd22b3b6281fe33)