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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
donnera tout de suite cette première intégrale
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{dt^{2}}}+2\int \mathrm {R} dr=2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9909ed9f4ac3d86c8b8798082d37605d7b96b1c8)
dans laquelle
est une constante arbitraire.
5. La dernière des trois équations différentielles est intégrale d’elle-même ; son intégrale est
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d949db0d96e1bbf1d9be058d4c10d56a62da05)
étant une constante arbitraire ; et la seconde devient intégrable en y substituant pour
sa valeur
tirée de celle-ci, et en la multipliant par
l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\cos ^{2}\psi }}=\mathrm {E} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f611035225294eb98cab910678405f9dd6f62db3)
étant une nouvelle constante arbitraire.
Je remarque d’abord sur cette intégrale que, si l’on suppose que
et
soient nuls à la fois dans un instant, ils seront toujours nécessairement nuls ; car, en faisant pour un instant
et
la dernière équation donne
et elle devient, par la substitution de
au lieu de
![{\displaystyle {\frac {r^{4}d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f546662f64c9f3601a2558775f94705f6be9e7)
laquelle ne peut avoir lieu qu’en faisant
![{\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1d6964e3f51924bcfb89c02d1961dd3301fb46)
La supposition dont il s’agit revient à faire en sorte que le corps se meuve dans un instant dans le plan des
ce qui est toujours possible, puisque la position de ce plan est arbitraire ; alors le corps continuera de se mouvoir dans le même plan et décrira nécessairement une orbite plane, c’est-à-dire une ligne à simple courbure. C’est ce