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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

ticle 93, on aura

${\begin{aligned}\rho _{_{'}}^{''2}=&\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}\\&-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}$

Faisons, pour un moment,

$\Delta =\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} ),$

on aura

${\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}={\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )-2\rho '\rho ''\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}}}\,;$

c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’expression de $\Omega$ de l’article 92 ; et l’on aura de la même manière

${\frac {\rho '^{2}+\rho ''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2\rho ''^{3}}}={\frac {\rho '\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}{\rho ''^{2}}}+{\frac {\rho '\Delta \sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}}{\rho ''^{2}}}.$

En marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquées que de deux, on aura les termes multipliés par $\mathrm {m} '''$ dans $\Omega ,$ et ainsi de suite.

Il faudra ensuite substituer pour $\rho ',\,\rho '',\ldots$ et pour $\Phi ',\,\Phi '',\ldots$ leurs valeurs exprimées par les anomalies moyennes $u',\,u'',\ldots ,$ suivant les formules des articles 21 et 22 ; et, dans le développement, nous nous contenterons d’avoir égard aux secondes dimensions des excentricités $e',\,e'',\ldots$ et des inclinaisons mutuelles $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},\ldots$ des orbites de $\mathrm {m'',\,m'''} ,\ldots$ sur celles de $\mathrm {m} ',$ en regardant ces quantités comme très petites du même ordre, et en négligeant les termes où elles formeraient des produits de plus de deux dimensions.

On aura ainsi

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}=&{\frac {1}{\sqrt {\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )}}}\\&-{\frac {\rho \rho '\left[\cos(\Phi '+\Phi ''-\mathrm {H+K} )-\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]}{\left[\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos(\Phi '-\Phi ''-\mathrm {H-K} )\right]^{\frac {3}{2}}}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {I} ''_{_{'}}.\end{aligned}}$

96. On sait que les puissances d’une fonction de la forme

$\rho '^{2}+\rho ''^{2}-2\rho '\rho ''\cos \varphi$